Differential-algebraische Gleichung

In einer Differential-algebraischen Gleichung (auch differentiell-algebraische Gleichung, Algebro-Differentialgleichung oder Deskriptor-System) sind gewöhnliche Differentialgleichungen und algebraische (d. h. hier: ableitungsfreie) Nebenbedingungen gekoppelt und werden als eine Gleichung bzw. Gleichungssystem aufgefasst. In einigen Fällen ist diese Struktur schon in der Form des Gleichungssystems angelegt, z. B. in

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=f(t,x(t),y(t))\\0&=g(t,x(t),y(t))\end{aligned}}}$

Diese Form ergibt sich regelmäßig bei Problemen aus der Mechanik von Körpern unter Zwangsbedingungen, als instruktives Beispiel wird oft das Pendel gewählt.

Die allgemeinste Form einer differentiell-algebraischen Gleichung ist eine implizite Differentialgleichung in der Form

${\displaystyle F({\dot {x}}(t),x(t),t)=0}$, ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}}$

für eine vektorwertige Funktion ${\displaystyle x\colon I\to \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$. Eine Gleichung in dieser impliziten Form ist (lokal) nach ${\displaystyle {\dot {x}}}$ auflösbar, wenn die partielle Ableitung ${\displaystyle F_{\dot {x}}}$ regulär ist. Dies folgt aus dem klassischen Satz über implizite Funktionen. In diesem speziellen Fall kann man die implizite Gleichung umschreiben in die Form

${\displaystyle {\dot {x}}=g(x,t)}$

und hat damit wieder eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung.

Eine echte differentiell-algebraische Gleichung liegt dann vor, wenn die partielle Ableitung ${\displaystyle F_{\dot {x}}}$ singulär ist. Dann zerfällt die implizite Differentialgleichung lokal in eine inhärente Differentialgleichung und eine algebraische Nebenbedingung. Dies entspricht praktisch einer Differentialgleichung, die auf einer Mannigfaltigkeit betrachtet wird. Das praktische Problem bei der impliziten Differentialgleichung ist jedoch, dass diese Mannigfaltigkeit zunächst nicht explizit bekannt ist.

Im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen, deren Lösung durch Integration bestimmt wird, ergeben sich Teile der Lösung einer differentiell-algebraischen Gleichung durch Differentiation. Dies stellt weitere Anforderungen an die Systemfunktion ${\displaystyle F}$. Muss diese bei gewöhnlichen Differentialgleichungen nur stetig bzw. stetig differenzierbar sein, um die Lösbarkeit zu garantieren, so werden nun auch höhere Ableitungen für die Lösung benötigt. Die genaue Ordnung der benötigten Ableitungen hängt vom gewählten Lösungsansatz ab und wird allgemein als Index der differentiell-algebraischen Gleichung bezeichnet.

Durch die im Lösungsprozess hinzuzuziehenden Ableitungen von Komponenten des Gleichungssystems entsteht ein überbestimmtes System. Eine Folge davon ist, dass die Lösungen auch noch einer Anzahl expliziter oder impliziter algebraischer Nebenbedingungen genügen müssen. Insbesondere gilt dies für Anfangswerte von Anfangswertproblemen. Die Suche nach konsistenten Anfangswerten, z. B. in der Nähe vorgegebener inkonsistenter Anfangswerte, ist ein nichttriviales erstes Problem bei der praktischen Lösung von differentiell-algebraischen Gleichungen.